Bangun Ruang Sisi Datar

Hai gaes . . . kita akan belajar mengenai bangun ruang sisi datar. Bangun ruang ada banyak macamnya. Mereka bisa dikelompokkan dalam dua golongan besar yakni bangun ruang sisi datar dan bangun ruang sisi lengkung. Bangun ruang sisi lengkung seperti bola, tabung, dan kerucut, sedangkan bangun ruang sisi datar akan kita pelajari berikut.

1. Kelompok bangun ruang sisi datar adalah bangun ruang yang sisinya berbentuk datar (tidak lengkung). Coba soba amati dinding sebuah gedung dengan permukaan sebuah bola. Dinding gedung adalah contoh sisi datar dan permukaan sebuah bola adalah contoh sisi lengkung. Jika sebuah bangun ruang memiliki satu saja sisi lengkung maka ia tidak dapat dikelompokkan menjadi bangun ruang sisi datar. Sebuah bangun ruang sebanyak apapun sisinya jika semuanya berbentuk datar maka ia disebut dengan bangun ruang sisi datar.

Macam-macam Bangun Ruang Sisi Datar mulai yang paling sederhana seperti kubus, balok, limas sampai yang sangat kompleks seperti limas segi banyak atau bangu yang menyerupai kristal. Namun demikian kali ini kita akan membahas spesifik tentang bangun ruang kubus, balok, limas, dan juga prisma.

A. KUBUS
Disebut bangun ruang kubus ketika bangun tersebut dibatasi oleh 6 buah sisi yang berbentuk persegi. Bangun ruang ini mempunyai 6 buah sisi, 12 buah rusuk, dan 8 buah titik sudut. Beberapa orang sering menyebut bangun ini sebagai bidang enam beraturan dan juga prisma segiempat dengan tinggi sama dengan sisi alas.

Bagian-bagian Kubus
TIga bagian utama dalam bangun ruang kubus adalah sisi, rusuk, dan titik sudut. Selain itu masih ada yang disebut dengan diagonal bidang dan diagonal ruang. Perhatikan gambar kubus di bawah ini.

Kubus ABCD.EFGH dibatasi oleh bidang ABCD, ABFE, BCGF, DCGH, ADHE, dan EFGH. Bidang-bidang tersebut disebut sisi-sisi kubus ABCD.EFGH.
AB , BC , CD , AD , EF , FG , GH , EH , AE , BF , CG , dan DH disebut rusuk-rusuk kubus.
AF, BE, BG,  CF, CH, DG, DE, AH, AC, BD, EG, dan FH disebut Diagonal Bidang.

AG, HB, CE, dan DF disebut Diagonal Ruang
ABGH, DCFE, BCHE, AFGD, BFHD dan ACGE disebut Bidang Diagonal

Berikut jumlah bagian-bagian kubus
1. Titik sudut 8 buah
2. Sisi berjumlah 6 buah (luasnya sama)
3. Rusuk berjumlah 12 buah sama panjang
4. Diagonal bidang berjumlah 12 buah
5. Diagonal ruang berjumlah 4 buah.
6. Bidang diagonal berjumlah 6 buah

Silahkan sobat coba cari sendiri ya mana-mana bagian kubus di atas sambil dicocokan jumlahnya.

Rumus-rumus Kubus
Volume =  s x s x s = s³

Luas Permukaan = 6 s x s = 6 s²

Panjang Diagonal Bidang = s√2

Panjang Diagonal Ruang = s√3

Luas Bidang Diagonal = s²√2

keterangan:

s = panjang sisi kubus

B. BALOK
Coba kalian perhatikan benda-benda di sekitar kalian, banyak sekali sebenarnya benda yang memiliki bentuk bangun ruang balok. Kardus mie instan favorit kalian bentuknya adalah balok, kulkas di dapur rumah juga berbentuk balok. Lantas kenapa benda-benda tersebut dinamakan balok?
Balok adalah bangun ruang yang memiliki tiga pasang sisi segi empat (total 6 buah) dimana sisi-sisi yang berhadapan memiliki bentuk dan ukuran yang sama. Berbeda dengan kubus yang semua sisinya berbentuk persegi yang sama besar, balok sisi yang sama besar hanya sisi yang berhadapan dan tidak semuanya berbentuk persegi, kebanyakan bentuknya persegi panjang. 

Bagian-bagian Balok

Bagian-bagian dari bagung ruang sisi datar ini sama seperti bagian-baian kubus. Sebuah balok terdiri dari sisi, sudut, diagonal bidang, diagonal ruang, dan yang terakhir adalah bidang diagonal. Berikut rincian jumlahnya

1. Titik sudut 8 buah

2. Sisi berjumlah 6 buah (luasnya beda-beda)

3. Rusuk berjumlah 12 buah

4. Diagonal bidang berjumlah 12 buah

5. Diagonal ruang berjumlah 4 buah.

6. Bidang diagonal berjumlah 6 buah

Rumus-rumus Balok

Volume =  panjang x lebar x tinggi = p x l x t

Luas Permukaan = 2 (pl + pt + lt)

Panjang Diagonal Bidang = √(p²+l²) atau √(p²+t²) atau √(l²+t²)

Panjang Diagonal Ruang = √(p²+l²+t²)

Luas Bidang Diagonal = tergantung dari bidang diagonal yang mana

Keterangan:

p = panjang

l = lebar

t = tingi

C. LIMAS
Bagun ruang sisi datar berikutnya adalah limas. Pernahkah kalian melihat piramid yang ada di mesir? Nah, piramid tersebut memiliki bentuk bangun ruang limas.

Limas adalah bangun ruang dengan alas berbentuk segi banyak, bisa segi tiga, segi empat, segi lima, dll dan bidang sisi tegaknya berbentuk segitiga yang berpotongan pada satu titik puncak. Ada banyak macam bangun ruang limas. Penamaannya berdasarkan bentuk alasnya.

Limas Segitiga Beraturan
Limas Segiempat Beraturan

Bagian-Bagian Limas
Sebuah limas terdiri dari sisi alas, sisi tegak, rusuk, titik puncak, dan tinggi. Jumlah sisi tegak akan sama dengan jumlah sisi alas. Jika alasnya segitiga maka jumlah sisi tegaknya adalah 3, jika alasnya berbentuk segilima maka jumlah sisi tegaknya adalah 5. Jumlah rusuknyapun mengikuti bentuk alas. Jika alasnya segitiga maka jumlah rusuknya 6, jika alasnya segiempat maka jumlah rusuknya 8, pokoknya 2 kalinya.
Sebuah limas pasti akan memiliki puncak dan tinggi. Tinggi limas adalah jarak terpendek dari puncak limas ke sisi alas. Tinggi limas selalu teka lurus dengan titik potong sumbu simetri bidang alas.

Rumus Rumus Limas

Volume Limas = 1/3 Luas Alas x Tinggi

Luas Permukaan = Luas Alas + Jumlah Luas sisi tegak

D. PRISMA

Apa Itu Prisma?

Perhatikan gambar bangun ruang sisi datar di atas. Gambar tersebut menujukkan beberapa contoh dari bangun ruang prisma.Bangun-bangun tersebut memiliki bidang alas dan bidang atas yang sejajar dan kngruen. Sisi linnya berupa sisi tegak berbentuk jajargenjang atau pesegi panjang yang tegak lurus ataupun titik dengan bidan alas dan bidang atasnya. Itulah kurang lebih definisi prisma.

Jika dilihat lagi dari rusuk tegaknya, prisma dapat dibedakan menjadi dua, yakni prisma tegak dan prisma miring. Prisma tegak adalah prima yang rusuk-rusuknya tegak lurus dengan bidang lasa dan bidang atas. Prisma miring adalah prisma yang rusuk-rusuk tegaknya tidak tegak lurus pada bidang atas dan bidang alas.

Jika dilhat dari bentuk alasnya aada yang namanya prisma segitiga, prisma segi emapat, prisma segi lima, dan seterusnya. Jika alasnya berbentuk segi n sobat bisa memberikan nama prisma segi n.

Bagian-Bagian Prisma
Sebuah bangun ruang sisi datar yang bernama prisma terdiri dari alas dan sisi atas yang sama dang kongruen, sisi tegak, titik sudut, dan tinggi. Tinggi prisma adalah jarak antara bidang alas dan bidang atas. Sobat bisa amati gambar berikut:

Rumus Prisma

Volume = Luas alas x Tinggi
Luas permukaan = (2 x Luas Alas) + (Keliling alas x tinggi)

Latihan Soal Bangun Ruang Sisi Datar

Sekian materi tentang bangun ruang sisi datar.

Semoga bermanfaat bagi belajar kalian.

Sumber :

Direktorat Pembinaan SMP
www.rumushitung.com

Read More

Lingkaran

Pengertian Lingkaran
Dalam geometri Euklid, sebuah lingkaran adalah himpunan semua titik pada bidang dalam jarak tertentu, yang disebut jari-jari, dari suatu titik tertentu, yang disebut pusat. Lingkaran adalah contoh dari kurva tertutup sederhana.

Unsur-unsur lingkaran

1.  Titik pusat (P) : 

merupakan titik tengah lingkaran, di mana jarak titik tersebut dengan titik manapun pada lingkaran selalu tetap.

2.  Jari-jari (R) :  

 merupakan garis lurus yang menghubungkan titik pusat dengan lingkaran.
3.  Tali busur (TB) : 

merupakan garis lurus di dalam lingkaran yang memotong lingkaran pada dua titik yang berbeda.

4.  Busur (B) : 

merupakan garis lengkung baik terbuka, maupun tertutup yang berimpit dengan lingkaran.

5.  Keliling lingkaran (K) : merupakan busur terpanjang pada lingkaran.

6.  Diameter (D) : 

merupakan tali busur terbesar yang panjangnya adalah dua kali dari jari-jarinya. Diameter ini membagi lingkaran sama luas.

7  Apotema : merupakan garis terpendek antara tali busur dan pusat lingkaran.
8.  Juring (J) : 

merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh busur dan dua buah jari-jari yang berada pada kedua ujungnya.
9.  Tembereng (T) : 

merupakan daerah pada lingkaran yang dibatasi oleh sebuah busur dengan tali busurnya.

Keliling dan Luas Lingkaran
Untuk mengetahui tentang rumus keliling dan luas daerah lingkaran, perhatikan tayangan berikut ini :

Semoga bermanfaat



sumber :
https://id.wikipedia.org/wiki/Lingkaran
https://www.youtube.com/watch?v=t2K1ZTUWBwc

Read More

Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Perhatikan video berikut ini

1.     Pengertian Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier (SPL) adalah gabungan dua atau lebih persamaan linier yang saling berkaitan satu dengan lainnya.

Didalam SPL itu ada yang namanya selesaian, selesaian adalah nilai pengganti peubah yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Dan proses dari selesaian itu biasanya disebut penyelesaian (selalu berkurung kurawal).

2.        Pengertian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat tiap-tiap variabel sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah :

ax + by = c

Dimana :  x dan y adalah variabel

Sedangkan sistem persamaan dua variabel adalah dua persamaan linier dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum sistem persamaan dua variabel adalah :

ax + by = c

px + qy = r

Dimana : x dan y disebut variabel

 a, b, p dan q disebut koefisien

 c dan r disebut konstanta

3.        Metode-Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Metode-metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel sebagai berikut :

a.      Metode Eliminasi

Dalam metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasikan atau dihilangkan untuk mendapatkan nilai variabel yang lain dalam Sistem Persamaan Linier Dua Variabel tersebut. Untuk mengeliminasi suatu variabel, samakan nilai kedua koefisien variabel yang akan dieliminasi, kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkan.

b.      Metode Substitusi

Dalam metode substitusi, suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain  dari SPLDV tersebut. Selanjutnya, variabel ini digunakan untuk mengganti variabel lain yang sama dalam persamaan lainnya sehingga diperoleh persamaan satu variabel.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dari 3x + 4y = 11 dan x + 7y  = 15

Penyelesaian :

3x + 4y = 11 . . .  persamaan (1)

x + 7y = 15 . . .  persamaan (2)

Dari persamaan (2) didapat : x = 15 – 7y . . . persamaan (3)

Kemudian substitusikan pesamaan (3) ke persamaan (1) :

 3x + 4y = 11

⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 ⇔   45 – 21y + 4y = 11⇔        - 21y + 4y = 11 – 45
                                                                                                       ⇔                - 17y = - 34   ⇔                      y = 2

Nilai  y = 2 kemudian substitusikan  y  ke persamaan (3)

 x = 15 – 7y
 x = 15 – 7(2)

 x = 15 – 14

 x = 1

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya {(1, 2)}

c.      Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Dalam metode ini, nilai salah satu variabel terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi. Selanjutnya, nilai variabel ini disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel sama.

Contoh :

Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !

Penyelesaian : 
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh :
2x – 5y = 2     ×1       2x – 5y = 2
x + 5y = 6       ×2       2x +10y = 12   -
                                        -15y = -10
                                           y = (-10)/(-15)
                                           y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
x + 5y = 6⇔  x + 5 (2/3) = 6⇔  x + 10/15 = 6⇔               x = 6 – 10/15

⇔               x = 22/3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(22/3,2/3)}

d.      Metode Grafik

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik adalah titik potong kedua garis dari persamaan linier penyusunan. 

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x, y ∈ R dengan menggunakan metode grafik.

Penyelesaian:

Tentukan terlebih dahulu titik potong dari gais-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat seperti berikut ini:

Untuk gaaris  x + y = 5

X	0	5
Y	5	0
(x, y)	(0, 5)	(5, 0)

•   Titik potong sumbu x, syarat y = 0

           x + y = 5

           x + 0 = 5

           x = 5

          Jadi titik potongnya (5,0)

•   Titik potong sumbu y, syarat x = 0

             x + y = 5

             0 + y = 5

             y = 5

            Jadi titik potongnya (0,5)

 Untuk garis  x - y = 1

X	0	1
Y	-1	0
(x, y)	(0, -1)	(1, 0)

·         Titik potong sumbu x, syarat y = 0

x – y = 1

x – 0 = 1

x = 1

Jadi titik potongnya (1,0)

·         Titik potong sumbu y, syarat x = 0

x – y = 1

0 – y = 1

 y = -1

Jadi titik potongnya (0,-1)

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Contoh Soal :

1.        Diketahui SPLDV berikut  y + 2x = 8 dan 2y – 7x = -6

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan :

a.       Metode eliminasi

b.      Metode sebstitusi

c.       Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

d.      Metode grafik

Jawaban :

a.      Metode eliminasi

y + 2x = 8

2y – 7x = -6

*eliminasi y dari SPLDV

y + 2x = 8         x2       2y + 4x = 16

2y – 7x = -6      x1        2y – 7x = -6           -

                                           11x = 22

                                               x = 2

*eliminasi x dari SPLDV

y + 2x = 8      x7        7y + 14x = 56

2y – 7x = -     x2         4y – 14x = -12      +

                                           11y = 44

                                                y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

b.      Metode substitusi

y + 2x = 8 . . . . . . . persamaan (1)

2y – 7x = -6 . . . . . . persamaan (2)

Ubah persamaan (1) menjadi y + 2x = 8 ↔ y = 8 – 2x . . . persamaan (3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2)

2y – 7x = -6 ⇔ 2(8 – 2x) – 7x = -6

⇔  16 – 4x – 7x = -6

⇔  16 – 11x = -6

⇔  -11x = -6 – 16

⇔  -11x = -22

⇔       x = 2

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1)

y + 2x = 8

y + 2(2) = 8

⇔  y + 4 = 8

⇔       y = 8 – 4

⇔       y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

c.      Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

y + 2x = 8

2y -7x = -6

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh :

y + 2x = 8     x2      2y + 4x = 16

2y – 7x = -6              x1      2y – 7x = -6     -

-11x = -22

x = 2

Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan y + 2x = 8 sehingga diperoleh :

y + 2x = 8

y + 2(2) = 8

⇔  y + 4 = 8

⇔         y = 8 – 4

⇔         y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

d.      Metode grafik

y + 2x = 8

1.    Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0. 
0 + 2x = 8 
        x = 4 Titik potong (4, 0)

2.    Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.

y + 2(0) = 8
                 y = 8Titik potong (0, 8)

Untuk garis y + 2x = 8

x	0	1	2	3	4
y	8	6	4	2	0

2y – 7x = -6

1.    Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0. 
2(0) – 7x = -6
             x = 6/7Titik potong (6/7, 0)

2.    Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.

       2y – 7(0) = -6
             y = -3Titik potong (0, 6/7)

            Untuk garis 2x -7y = -6

x	0	1	2	3	4
y	-3	1/2	4	15/2	11

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (2, 4). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y + 2x =8 dan 2y – 7x = -6 adalah {(2, 4)}.

Read More