Sistem Persamaan Linier Dua Variabel (SPLDV)

Perhatikan video berikut ini

1.     Pengertian Sistem Persamaan Linier

Sistem persamaan linier (SPL) adalah gabungan dua atau lebih persamaan linier yang saling berkaitan satu dengan lainnya.

Didalam SPL itu ada yang namanya selesaian, selesaian adalah nilai pengganti peubah yang menyebabkan persamaan menjadi pernyataan yang bernilai benar. Dan proses dari selesaian itu biasanya disebut penyelesaian (selalu berkurung kurawal).

2.        Pengertian Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Persamaan linier dua variabel adalah persamaan yang mengandung dua variabel dimana pangkat atau derajat tiap-tiap variabel sama dengan satu.

Bentuk umum persamaan linier dua variabel adalah :

ax + by = c

Dimana :  x dan y adalah variabel

Sedangkan sistem persamaan dua variabel adalah dua persamaan linier dua variabel yang mempunyai hubungan diantara keduanya dan mempunyai satu penyelesaian.

Bentuk umum sistem persamaan dua variabel adalah :

ax + by = c

px + qy = r

Dimana : x dan y disebut variabel

 a, b, p dan q disebut koefisien

 c dan r disebut konstanta

3.        Metode-Metode Menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel

Metode-metode untuk menyelesaikan Sistem Persamaan Linier Dua Variabel sebagai berikut :

a.      Metode Eliminasi

Dalam metode eliminasi, salah satu variabel dieliminasikan atau dihilangkan untuk mendapatkan nilai variabel yang lain dalam Sistem Persamaan Linier Dua Variabel tersebut. Untuk mengeliminasi suatu variabel, samakan nilai kedua koefisien variabel yang akan dieliminasi, kemudian kedua persamaan dijumlahkan atau dikurangkan.

b.      Metode Substitusi

Dalam metode substitusi, suatu variabel dinyatakan dalam variabel yang lain  dari SPLDV tersebut. Selanjutnya, variabel ini digunakan untuk mengganti variabel lain yang sama dalam persamaan lainnya sehingga diperoleh persamaan satu variabel.

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dari 3x + 4y = 11 dan x + 7y  = 15

Penyelesaian :

3x + 4y = 11 . . .  persamaan (1)

x + 7y = 15 . . .  persamaan (2)

Dari persamaan (2) didapat : x = 15 – 7y . . . persamaan (3)

Kemudian substitusikan pesamaan (3) ke persamaan (1) :

 3x + 4y = 11

⇔ 3(15 – 7y) + 4y = 11 ⇔   45 – 21y + 4y = 11⇔        - 21y + 4y = 11 – 45
                                                                                                       ⇔                - 17y = - 34   ⇔                      y = 2

Nilai  y = 2 kemudian substitusikan  y  ke persamaan (3)

 x = 15 – 7y
 x = 15 – 7(2)

 x = 15 – 14

 x = 1

Jadi, Himpunan Penyelesaiannya {(1, 2)}

c.      Metode Gabungan (Eliminasi dan Substitusi)

Dalam metode ini, nilai salah satu variabel terlebih dahulu dicari dengan metode eliminasi. Selanjutnya, nilai variabel ini disubstitusikan ke salah satu persamaan sehingga diperoleh nilai variabel sama.

Contoh :

Dengan metode gabungan tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan 2x – 5y = 2 dan x + 5y = 6 !

Penyelesaian : 
Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh :
2x – 5y = 2     ×1       2x – 5y = 2
x + 5y = 6       ×2       2x +10y = 12   -
                                        -15y = -10
                                           y = (-10)/(-15)
                                           y = 2/3
Kemudian, disubstitusikan nilai y ke persamaan x + 5y = 6 sehingga diperoleh.
x + 5y = 6⇔  x + 5 (2/3) = 6⇔  x + 10/15 = 6⇔               x = 6 – 10/15

⇔               x = 22/3

Jadi, himpunan penyelesaiaanya adalah {(22/3,2/3)}

d.      Metode Grafik

Penyelesaian SPLDV dengan metode grafik adalah titik potong kedua garis dari persamaan linier penyusunan. 

Contoh :

Tentukan himpunan penyelesaian dari sistem persamaan x + y = 5 dan x – y = 1, untuk x, y ∈ R dengan menggunakan metode grafik.

Penyelesaian:

Tentukan terlebih dahulu titik potong dari gais-garis pada sistem persamaan dengan sumbu-sumbu koordinat seperti berikut ini:

Untuk gaaris  x + y = 5

X	0	5
Y	5	0
(x, y)	(0, 5)	(5, 0)

•   Titik potong sumbu x, syarat y = 0

           x + y = 5

           x + 0 = 5

           x = 5

          Jadi titik potongnya (5,0)

•   Titik potong sumbu y, syarat x = 0

             x + y = 5

             0 + y = 5

             y = 5

            Jadi titik potongnya (0,5)

 Untuk garis  x - y = 1

X	0	1
Y	-1	0
(x, y)	(0, -1)	(1, 0)

·         Titik potong sumbu x, syarat y = 0

x – y = 1

x – 0 = 1

x = 1

Jadi titik potongnya (1,0)

·         Titik potong sumbu y, syarat x = 0

x – y = 1

0 – y = 1

 y = -1

Jadi titik potongnya (0,-1)

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Contoh Soal :

1.        Diketahui SPLDV berikut  y + 2x = 8 dan 2y – 7x = -6

Tentukan himpunan penyelesaian SPLDV dengan :

a.       Metode eliminasi

b.      Metode sebstitusi

c.       Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

d.      Metode grafik

Jawaban :

a.      Metode eliminasi

y + 2x = 8

2y – 7x = -6

*eliminasi y dari SPLDV

y + 2x = 8         x2       2y + 4x = 16

2y – 7x = -6      x1        2y – 7x = -6           -

                                           11x = 22

                                               x = 2

*eliminasi x dari SPLDV

y + 2x = 8      x7        7y + 14x = 56

2y – 7x = -     x2         4y – 14x = -12      +

                                           11y = 44

                                                y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

b.      Metode substitusi

y + 2x = 8 . . . . . . . persamaan (1)

2y – 7x = -6 . . . . . . persamaan (2)

Ubah persamaan (1) menjadi y + 2x = 8 ↔ y = 8 – 2x . . . persamaan (3)

Substitusikan persamaan (3) ke dalam persamaan (2)

2y – 7x = -6 ⇔ 2(8 – 2x) – 7x = -6

⇔  16 – 4x – 7x = -6

⇔  16 – 11x = -6

⇔  -11x = -6 – 16

⇔  -11x = -22

⇔       x = 2

Substitusikan x = 2 ke dalam persamaan (1)

y + 2x = 8

y + 2(2) = 8

⇔  y + 4 = 8

⇔       y = 8 – 4

⇔       y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

c.      Metode gabungan (eliminasi dan substitusi)

y + 2x = 8

2y -7x = -6

Langkah pertama yaitu dengan metode eliminasi, diperoleh :

y + 2x = 8     x2      2y + 4x = 16

2y – 7x = -6              x1      2y – 7x = -6     -

-11x = -22

x = 2

Kemudian substitusikan nilai x ke persamaan y + 2x = 8 sehingga diperoleh :

y + 2x = 8

y + 2(2) = 8

⇔  y + 4 = 8

⇔         y = 8 – 4

⇔         y = 4

Jadi, himpunan penyelesaiannya {(2,4)}

d.      Metode grafik

y + 2x = 8

1.    Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0. 
0 + 2x = 8 
        x = 4 Titik potong (4, 0)

2.    Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.

y + 2(0) = 8
                 y = 8Titik potong (0, 8)

Untuk garis y + 2x = 8

x	0	1	2	3	4
y	8	6	4	2	0

2y – 7x = -6

1.    Titik potong dengan sumbu x, syarat y = 0. 
2(0) – 7x = -6
             x = 6/7Titik potong (6/7, 0)

2.    Titik potong dengan sumbu y, syarat x = 0.

       2y – 7(0) = -6
             y = -3Titik potong (0, 6/7)

            Untuk garis 2x -7y = -6

x	0	1	2	3	4
y	-3	1/2	4	15/2	11

Berdasarkan hasil diatas, kita bisa menggambarkan grafiknya seperti berikut ini:

Koordinat titik potong kedua grafik tersebut adalah (2, 4). Dengan demikian, himpunan penyelesaian dari sistem persamaan y + 2x =8 dan 2y – 7x = -6 adalah {(2, 4)}.